1引言

共晶界面形态稳定性是凝聚态物理学和材料科学的一个基础课题[1?6].定向凝固过程中晶体形态的不稳定性可能会导致不同的微观结构，最终极大地影响产品的物理和机械性能.Hele-Shaw生长室是观察共晶定向凝固过程的典型实验装置，它是一个封存有样品材料的十分扁平的容器.生长室设置了一个高温区与一个低温区，高温区的温度设为TH，低温区的温度为TC，材料的凝固温度TM介于两者之间:即TC。

固体材料本身并非各向同性介质，其晶格结构使固体体内的物理量以及表面的物理参数依赖于取向，变为各向异性量.固体材料这些物理参量的各向异性特征对凝固过程动力学与界面稳定性机理以至对界面微结构图案的形成与选择造成重要的影响[14].王志军等[15，16]研究了各向异性表面张力对定向凝固过程中初始平界面稳定性的影响，发现各向异性表面张力的非线性效应导致界面倾斜生长.Chen等[17]研究了各向异性表面张力对定向凝固过程中球晶生长的影响，发现在各向异性表面张力作用下，球晶生长初始阶段部分界面首先向内移动，达到一定的熔化深度后向外移动.Xu[18]研究了各向异性表面张力对定向凝固过程中枝晶生长的影响，发现当存在各向异性表面张力时，枝晶系统具有两种不同的整体不稳定性机理:震荡不稳定性与低频不稳定性.陈明文等[19]研究了各向异性表面张力对定向凝固过程中深胞晶生长的影响，发现当各向异性表面张力增大时，深胞晶界面全长增大，根部低端的曲率半径增大.本文应用多重变量展开法研究各向异性表面张力条件下定向凝固共晶生长形态稳定性，揭示了各向异性表面张力对共晶生长不稳定性区域大小的影响.

图1共晶结构的示意图

2定向凝固系统的数学模型

假设由α和β两相组成的片层共晶以拉度V向液相稳定推进，共晶片层与固-液界面垂直.选取固-液界面处α相片层的中心为坐标原点，x轴与片层垂直，z轴与晶体生长方向平行，如图1所示.共晶界面用函数z=h(x，t)表示，它也是共晶生长解的一部分.

本文引用Xu等[12]的无量纲化尺度，并且假设主间距的一半?w远小于溶质扩散长度?D=κD/V，即?w??D，其中κD为溶质扩散系数.选取?w为长度尺度，V为速度尺度，?w/V为时间尺度，?H/(cPρL)为温度尺度，Ce为浓度尺度，其中?H是单位体积内固相潜热，cP是比热容，ρL是溶质密度，Ce是共晶浓度.无量纲温度ˉT=(T?Te)/[?H/cPρL]，无量纲浓度ˉC=(C?Ce)/Ce，无量纲无穷远处浓度ˉC∞=[(C∞)D?Ce]/Ce，其中Te是共晶温度，(C∞)D是有量纲无穷远处浓度.为了书写简洁起见，下文省略掉无量纲量头上的符号“-”.各向异性表面张力用四重对称函数γ(θ)=γ0[1+γ4cos(4θ)][14]表示，其中γ0为各向同性表面张力系数，γ4为各向异性表面张力系数，θ为界面法向量与z轴之间的夹角.共晶生长系统还包含以下无量纲量:Peclet数Pe=?w/?D;形态参数M=(?mCe)/[?H/(cPρL)]，m是液相线系数;界面稳定性参数Γ=?c/?w，?c是毛细长度，?c=γ0cPρLTe/(?H)2;无量纲温度梯度G=(G)D?w/[?H/(cPρL)]，(G)D是与实验装置相关的有量纲温度梯度;无量纲间距参数Wc=wc/?w，wc表示α相宽度的一半.

注意到γ0，γ4，m和分离系数κ都是分段常值函数，在α相和β相都有各自对应的常数值.用q来代表这类物理量，qα表示其在α相的函数值，qβ表示其在β相的函数值.由于溶质扩散长度?D远小于热扩散长度?T=κT/V，即?D??T，其中κT是热扩散系数.界面温度可以近似表示为TL=TS～G(z?z?)，其中TL，TS分别是液相和固相温度，z?是与α相尖端位置有关的常数.对于典型的实验材料，Peclet数Pe很小.以CBr4-C4Cl6[20，21]生长系统为例，Pe≈0.01，?！?.5×10?5.为了做渐近分析，本文把Peclet数Pe作为基本的小参数，假设ε=Pe?1且Γ=ε2ˉΓ，ˉΓ=O(1).

为考察共晶生长形态稳定性，利用共晶生长的定常解作为基态进行稳定性分析.在初始时刻t=0时对基态解做一小扰动，并将在t>0以后形成的非定常解分解成两个部分:

其中{CB，hB}是系统的基态，{e C，?h}是系统的扰动态.假设初始扰动态的范数共晶生长系统的定常解为[11]:

其中

θ?是α相的接触角，θ+是β相的接触角，这两个接触角与夹度θα，θβ以及倾斜角ψ之间满足关系式θ?=θα?π/2?ψ，θ+=θβ?π/2+ψ，如图2所示.

将系统方程以振幅远小于1进行线性化处理，结合(1)式—(4)式，可以得到共晶生长系统的扰动态满足以下控制方程和边界条件:

1)在远场区域，当z→∞时，

2)在侧壁x=0和x=1上，

(b)反对称(antisymmetric)模式(A-模式)

3)在界面z=hB上，

(a)Gibbs-Thomson条件

(a)对称(symmetric)模式(S-模式)

由三角诱导公式可知，

于是有

结合(9)式和(10)式，Gibbs-Thomson条件可以改写为

(b)杂质质量守恒条件

3扰动态的多重变量渐近展开解

为了得到系统扰动态的渐近解，引入快变量[12]

按照多重变量(x，z，x+，z+，t+)，解可以写成如下形式:

并对波数函数和特征值做如下展开: